توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    احتمالی که غیرممکن باشد را با چه عددی نشان میدهند

    1 بازدید

    احتمالی که غیرممکن باشد را با چه عددی نشان میدهند را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

    نظریه احتمالات

    نظریه احتمالات

    نظریهٔ احتمال مطالعهٔ رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است. بعبارت دیگر، نظریه احتمال به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد.[۱] هسته تئوری احتمال را متغیرهای تصادفی و فرایندهای تصادفی و پیشامدها تشکیل می‌دهند. نظریه احتمال علاوه بر توضیح پدیده‌های تصادفی به بررسی پدیده‌هایی می‌پردازد که لزوماً تصادفی نیستند ولی با تکرار زیاد دفعات آزمایش نتایج از الگویی مشخص پیروی می‌کنند، مثلاً در آزمایش پرتاب سکه یا تاس با تکرار آزمایش می‌توانیم احتمال وقوع پدیده‌های مختلف را حدس بزنیم و مورد بررسی قرار دهیم. نتیجه بررسی این الگوها قانون اعداد بزرگ و قضیه حد مرکزی است.[۲]

    پیشینه[ویرایش]

    نخستین کتاب‌ها را دو دانشمند ایتالیایی دربارهٔ بازی با تاس نوشتند: جه رولاموکاردان و گالیلئو گالیله. با این همه باید آغاز بحث دقیق دربارهٔ احتمال را سده هفدهم و با کارهای بلز پاسکال و پیر فرما، ریاضیدانان فرانسوی و کریستین هویگنس هلندی دانست. پاسکال و فرما کتابی در این باره ننوشتند و تنها در نامه‌های خود به دیگران دربارهٔ کاربرد آنالیز ترکیبی در مسئله‌های مربوط به شانس صحبت کرده‌اند، ولی هویگنس کتابی با نام بازی با تاس نوشت که اگر چه با کتاب کاردان هم نام است ولی از نظر تحلیل علمی در سطح بسیار بالاتری است. کار آنان توسط یاکوب برنولی و دموآور در قرن هجدهم میلادی ادامه یافت، برنولی کتاب روش حدس زدن را نوشت و قانون عددهای بزرگ را کشف کرد. مسئله معروف سوزن نیز در اواسط همین قرن توسط کنت دو بوفون مطرح و حل شد. در سده هجدهم و ابتدای سده نوزدهم نظریه احتمال در دانش‌های طبیعی و صنعت به‌طور جدی کاربرد پیدا کرد. در این دوره نخستین قضیه‌های نظریه احتمال یعنی قضایای لاپلاس، پواسون، لژاندر و گاوس ثابت شد. در نیمه دوم سده نوزدهم دانشمندان روسی تأثیر زیادی در پیشرفت نظریه احتمال داشتند، چبیشف و شاگردانش، لیاپونوف و مارکوف یک رشته از مسئله‌های کلی نظریه احتمال را حل کردند و قضایای برنولی و لاپلاس را تعمیم دادند. در آغاز قرن بیستم متخصصان کارهای قبلی را منظم نموده و ساختمان اصول موضوعه احتمال را بنا نمودند. در این دوره دانشمندان زیادی روی نظریه احتمال کار کردند: در فرانسه، بورل، له‌وی و فره‌شه؛ در آلمان، میزس؛ در آمریکا، وینر، فه لر و دوب؛ در سوئد، کرامر؛ در شوروی، خین چین، سلوتسکی، رومانوسکی، سمپرنوف، گنه دنکو اما درخشان‌ترین نام در این عرصه کولموگروف روسی است که اصول موضوع احتمال را در کتابی به نام مبانی نظریه احتمال در آلمان منتشر کرد.

    مفهوم[ویرایش]

    مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آن‌ها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به‌کار برده می‌شود.[۳]

    ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتماً رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که احتمالش صفر است، در واقع احتمال وقوع ندارد. باید توجه داشت که در تعریف دقیق ریاضی، میان احتمال و امکان تفاوت می‌گذارند. یعنی احتمال وقوع یک امر ممکن می‌تواند صفر باشد. مثلاً احتمال اینکه طول یک پاره‌خط دقیقاً ۳٫۱ سانتیمتر باشد (اندازه‌گیری شده با هر ابزاری با هر میزان دقت) صفر است. چون بین ۳٫۲ و ۳٫۰ بی‌نهایت عدد وجود دارد ولی از لحاظ منطقی ممکن است که طول پاره‌خطی ۳٫۱ سانتیمتر باشد. احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} است، همان‌طور که احتمال خط آوردن هم 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} است.

    به زبان سادهٔ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبهٔ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست: 3 6 = 0.5 {\displaystyle {\frac {3}{6}}=0.5}

    جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ ندادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع «احتمال آوردن شش» (که 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} است) با «احتمال نیاوردن شش» (که 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}} است) می‌شود یک.

    آزمایش تصادفی[ویرایش]

    به آزمایشی گفته می‌شود که همه نتیجه‌های ممکن آن قبل از انجام آزمایش مشخص است، اما قبل از انجام آزمایش معلوم نیست کدام نتیجه رخ خواهد داد و بتوان آن آزمایش را در شرایط یکسان و به دفعات دلخواه انجام داد.[۴]

    فضای نمونه[ویرایش]

    به مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن در یک آزمایش تصادفی فضای نمونه می‌گویند.[۵]

    احتمال رخداد یک پیشامد[ویرایش]

    اگر A احتمال رخداد پیشامد از فضای نمونه S باشد. A S {\displaystyle A\subseteq S}

    فرمول رخداد احتمال A به صورت زیر است:

    p ( A ) = n ( A ) n ( S ) {\displaystyle p(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}}

    پیشامد حتمی[ویرایش]

    اگر p ( A ) = 1 {\displaystyle p(A)=1} باشد. احتمال پیشامد A حتمی است.

    پیشامد غیرممکن[ویرایش]

    اگر p ( A ) = 0 {\displaystyle p(A)=0} باشد. احتمال پیشامد A غیرممکن است.

    کاربرد احتمال در زندگی[ویرایش]

    یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک‌پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می‌باشد. حکومت‌ها به‌طور خاص روش‌های احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می‌کنند که به عنوان «آنالیز خط مشی» نامیده می‌شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفی اند اندازه می‌گیرند و برنامه‌هایی را انتخاب می‌کنند تا اثر احتمال آن‌ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل‌سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی‌های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مدل‌های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً «احتمال۹/۱۱ دیگری»؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می‌شود و برداشت اثر چنین انتخاب‌هایی است که روش‌های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی درمی‌آورد.

    یک مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است که دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد کلی دارد. یک ارزیابی توسط یک واحد تجاری در مورد این که احتمال وقوع یک جنگ زیاد است یا کم باعث نوسان قیمت‌ها می‌شود و سایر تجار را برای انجام کار مشابه تشویق می‌کند. مطابق با این اصل، احتمالات به‌طور مستقل ارزیابی نمی‌شوند و ضرورتاً به‌طور منطقی برخورد صورت نمی‌گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده‌است تا اثر این تفکرات گروهی را روی قیمت‌ها، سیاست‌ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.

    به‌طور استدلالی می‌توان گفت که کشف روش‌های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی‌های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته‌است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی‌ها که به‌طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده‌است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت‌ها و ارزیابی‌های احتمال صورت می‌گیرد و چگونه آن‌ها می‌توانند در تصمیم‌گیری‌ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.

    کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن‌ها از نظریه اعتبار استفاده می‌شود به نحوی که احتمال نقص آن‌ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فراورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.[۶]

    نقدها[ویرایش]

    تصمیم‌گیری یا عدم تصمیم‌گیری[ویرایش]

    یکی از نقدهایی که به نظریهٔ احتمال وارد است، مبتنی بودن آن بر فراوانی نسبی یک پیشامد به عنوان احتمال رخداد آن است. به دیگر بیان، نظریه احتمال، احتمال رخداد یک پیشامد را معادل با ایمان ما نسبت به رخداد آن پدیده می‌داند و ایمان به نسبت به رخداد آن پیشامد را معادل فراوانی نسبی آن پدیده در یک آزمایش آماری می‌داند.[۷] در این اعتقاد دو ایراد فلسفی وجود دارد: اولاً: ایمان ما نسبت به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال رخداد پیشامد در نظر گرفته شده‌است. این به این معناست که ایمان درونی انسان به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال حقیقتی است که در بیرون رخ خواهد داد؛ که این تطابق، فاقد هر گونه توجیه منطقی است. ثانیاً: احتمال رخداد را برابر با فراوانی نسبی آن پیشامد در آزمایش آماری در نظر می‌گیرد که این نیز محل بحث است. به عنوان مثال فرض کنید که شما در بازی قماری شرکت کرده‌اید که با محاسبهٔ احتمال‌ها بر اساس تئوری موجود، احتمال پیروزی شما ۲/۳ است؛ لذا سرمایه‌گذاری در این قمار در ۲/۳ اوقات به نفع شماست. فرض کنید که بازی ۱۵ دور است. در این صورت شما باید ۱۰ دور این بازی را احتمالاً پیروز شوید. شما بازی را شروع می‌کنید و تا دور ۱۱_ام شکست می‌خورید و و دور ۱۲ را می‌برید و دور ۱۳ و ۱۴ را شکست می‌خورید و دور ۱۵_ام را می‌برید. این اتفاق یک اتفاق کاملاً "ممکن" است. در این صورت شما ۰٫۳۶- = ۱۳/۱۵–۱/۲ واحد از سرمایهٔ خود را از دست داده‌اید. توجیهی که احتمال دان‌ها می‌آورند این است: "اگر تعداد دورها به بی‌نهایت میل می‌کرد شما در ۲/۳ حالات برنده بودید." در صورتی که در جهان واقعی هیچ‌گاه بازی‌هایی با تعداد دور بی‌نهایت وجود ندارد." در تصمیم گیری‌های اجتماعی و سیاسی نیز همین امر برقرار است. ریسک سرمایه‌گذاری بر اساس این نظریه در نظر گرفتنی است. اما این مسئله و شبیه این مسئله‌ها با "نظریه امکان" با دیدگاهی کاملاً منطقی قابل بررسی، تحلیل و تصمیم‌گیری است.

    عدم وجود تصادف[ویرایش]

    باور به تئوری احتمال در تمامی ابعاد مستلزم باور به تصادف است. آن فرایندهایی که موسوم به فرایند تصادفی هستند به دو دسته عمده تقسیم می‌شوند:

    درصورتی که در هر دو حالت بالا با شرط آگاهی ما از مکانیزم دقیق پیشامد، پسوند «تصادفی» خود به خود حذف می‌شود. اگر بدانیم که تمام نیروهایی که بر پل وارد می‌شوند به چه صورت است، اگر مکانیک پرتاب یک سکه را در هر تعداد مرتبهٔ دلخواه به ازای هر مقدار نیرو که پرتاب‌کننده اراده می‌کند، فرموله کنیم، این‌ها فرایند تصادفی نخواهد بود.

    منابع[ویرایش]

    پانویس[ویرایش]

    جستارهای وابسته[ویرایش]

    منابعی برای مطالعهٔ بیشتر[ویرایش]

    پیوند به بیرون[ویرایش]

    حساب احتمالات

     ۲.۱۵  حساب احتمالات

    همان‌طور که دیدیم در بیشتر موارد احتمال رویدادهای منفرد قابل‌محاسبه‌اند. با دانستن (یا فرض کردن) آن‌ها می‌توان محاسبه را ادامه داد و احتمال بعض روادید مرکب — یعنی آن رویداد که بتوان آن را به‌عنوان یک کل در نظر گرفت،  آن‌گونه که دارای مؤلفه‌هایی باشند و این مؤلفه‌ها خود رویداد‌های منفرد باشند — را حساب کرد.  مشاهده کردیم که مطابق نظریه پیشینی، احتمال کشیدن یک کارت پیک از یک دسته کارت به هم‌آمیخته ۱/۴ است. حال درباره کشیدن دو پیک به‌صورت پی‌درپی از این دسته کارت چه می‌توان گفت؟ کشیدن اولین کارت پیک مؤلفه اول است؛ کشیدن دومین کارت پیک مؤلفه دوم است؛ کشیدن دو کارت پی‌درپی پیک رویداد مرکبی است که ممکن است بخواهیم احتمال آن را حساب کنیم. وقتی دانسته باشد که چگونه رویدادهای مؤلفه‌ای به هم ربط دارند احتمال رویداد مرکب را می‌توان از احتمال رویدادهای مؤلفه‌ای آن به دست آورد(حساب کرد).

     حساب احتمال شاخه‌ای از ریاضیات است که امکان چنین محاسبه‌ای را میسر می‌سازد. در اینجا ما فقط طرح کلی مقدماتی آن را بررسی خواهیم کرد. دانستن احتمال بعضی پیشامدهای در زندگی روزانه می‌تواند بسیار مهم باشد و ازاین‌رو کاربرد حساب احتمال نیز می‌تواند فوق‌العاده مهم باشد. تسلط بر قضیه‌های بنیادین آن از  جمله یکی از مهم‌ترین نتایج خواندن منطق است.

    حساب احتمال را می‌توان با بیش‌ترین سادگی برحسب بازی‌های شانسی توضیح داد — مثل تاس، کارت و مانند آن‌ها — زیرا محدودیت عالم مصنوعی در این بازی‌ها توسط قوانینشان، کار زدن سرراست قضیه‌های احتمال را میسر می‌کند. در آنچه آمده نظریه پیشینی احتمال بکار گرفته‌شده، لیکن با اندک باز-تعبیر می‌توان همه نتایج را برحسب نظریه فراوانی نسبی احتمال نیز بیان کرد.

    در اینجا ما دو قضیه مقدماتی را بحث خواهیم کرد.

    اکنون به‌نوبت آن‌ها را شرح خواهیم داد.

    آ. احتمال رخدادهای توأم

    فرض کنید می‌خواهیم احتمال آمدن دو شیر در پرتاب دو سکه را حساب کنیم. این دو مؤلفه  را  آ و  ب می‌نامیم، قضیه بسیار ساده‌ای وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان احتمال آ و هم  ب  را حساب کرد. این قضیه موسوم به قضیه حاصل‌ضرب است و فقط مستلزم ضرب دو کسری است که احتمال هریک از دو مؤلفه را نشان می‌دهند. وقتی دو سکه پرتاب می‌شود چهار پیشامد متمایز وجود خواهد داشت. آن‌ها را به بهترین وجه می‌توان در یک جدول نشان داد.

    دلیلی نیست تا انتظار یکی از این چهار حالت را بیشتر از دیگری داشته باشیم، بنابراین آن‌ها را به‌طور یکسان ممکن در نظر می‌گیریم. حالت (دو شیر) که رخ داد آن موردنظر ماست فقط یکی از این چهار رویداد هم امکان است، بنابراین احتمال آمدن دو شیر در دو پرتاب ۱/۴ است. این مقدار را می‌توان مستقیماً حساب کرد: احتمال به دست آوردن دو شیر در دو پرتاب برابر است با به دست آوردن شیر در پرتاب اول، ۱/۲، ضرب‌در احتمال به دست آوردن شیر در پرتاب دوم، ۱/۲، یا به‌عبارت‌دیگر  ۱/۲  × ۱/۲=۱/۴.  توجه داشته باشید که این ضرب ساده فقط وقتی بکار می‌آید که دو رویداد رویدادهای نابسته باشند – یعنی رخ دادن یکی تأثیری بر رخ دادن دیگری نداشته باشد.

    قضیه حاصل‌ضرب برای رویدادهای نابسته می‌گوید احتمال توأمان دو رویداد نابسته برابر حاصل‌ضرب رویدادهای جداگانه آن‌ها است. این را به‌صورت زیر می‌نویسند:

    P(آ و ب) =P(آ) × P(ب)

    که در آن (آ)P و (ب)P احتمال‌های جداگانه دو رویداد هستند و P(آ و ب)  نشان‌دهنده رویداد رخ دادن توأم آن‌ها است.

    این قضیه را در مورد دیگری بکار می‌زنیم: احتمال به دست آوردن عدد ۱۲ در پرتاب دو تاس چقدر است؟ دو تاس ۱۲ امتیاز خواهند آورد فقط اگر هر دو ۶ را نشان دهند.  یک تاس شش وجه دارد که آمدن هرکدام از آن‌ها بعد از پرتاب به همان اندازه بقیه محتمل است. اگر a رویداد آمدن شش در پرتاب اول باشد آنگاه P(a)=۱/۶. وقتی b رویداد آمدن شش در پرتاب دوم باشد آنگاه  P(a)=۱/۶.  رویداد مرکب ۱۲ در پرتاب دو تاس توأمان بنا بر قضیه حاصل‌ضرب عبارت خواهد بود. از:

     P(a و b) = ۱/۶ × ۱/۶ = ۱/۳۶

    اگر روی یک میز تمام پیشامدهای هم امکان حاصل از پرتاب دو تاس را نمایش دهیم به نتیجه یکسانی خواهیم رسید. ۳۶ پیشامد ممکن وجود دارد که فقط یکی از آن‌ها مطلوب ما برای به دست آوردن ۱۲ است.

    نیاز نیست تا خود را فقط به دو مؤلفه محدود کنیم. قضیه حاصل‌ضرب را می‌توان تعمیم داد، به‌طوری‌که شامل احتمال توأم هر تعداد رویداد نابسته باشد. اگر یک کارت از یک دسته کارت درهم‌آمیخته بکشیم، سپس آن را در دسته کارت قرار دهیم و مجدداً یک کارت بکشیم (با فرض این‌که بعد از هر برگردان کارت بلافاصله دسته کارت درهم آمیخته می‌شود) و این کار را برای بار سوم انجام دهیم، احتمال به دست آوردن یک پیک در هر بار کشیدن کارت تحت تأثیر موفقیت یا شکست در کارت کشیدن‌های دیگر نیست.

    احتمال کشیدن یک کارت پیک در هر بار ۱۳/۵۴ یا ۱/۴ است. احتمال کشیدن سه کارت پیک در هر سه بار، چنانچه بعد از هر کشیدن کار به دسته کارت برگردانده شود عبارت از ۱/۴ × ۱/۴ × ۱/۴=۱/۶۴ است. بنابراین قضیه عام حاصل‌ضرب امکان محاسبه رخ دادن توأم هر تعداد رویداد را فراهم می‌سازد.

    اما اگر رویدادها نابسته نباشید چه خواهد شد؟ اگر موفقیت در یک حالت در موفقیت حالت دیگر تأثیرگذار باشد چه روی خواهد داد؟ در مثال‌هایی که تاکنون آمد نیاز نبود تا رابطه میان رویدادهای مؤلفه‌ای لحاظ شود، ولی رویدادهای مؤلفه‌ای می‌توانند به طریقی به هم مربوط باشند، به قسمی که نیازمند به‌دقت بیشتر در محاسبه‌احتمال باشد. برای مثال به نسخه دیگری از همین مثال اخیر توجه نمایید. فرض کنید ما به دنبال احتمال کشیدن سه کارت پیک از دسته کارت درهم‌آمیخته هستیم، ولی بدون برگردان کارت کشیده شده. اگر کارت کشیده شده قبل از کشیدن کارت بعدی به دسته کارت برگردانده نشود، آنگاه پیشامد کشیدن کارت قبلی بر  پیشامد کشیدن کارت‌های بعدی تأثیرگذار است.

    اگر اولین کارت کشیده پیک باشد آنگاه هنگام کشیدن دومین کارت فقط ۱۲ کارت از کل ۵۱ کارت پیک هستند، و اگر اولین کارت کشیده پیک نباشد آنگاه هنگام کشیدن دومین کارت ۱۳ کارت از کل ۵۱ کارت پیک هستند. اگر a را رویداد کشیدن یک کارت پیک بدون برگرداندن آن به دسته کارت و b را نیز رویداد کشیدن یک کارت پیک دیگر از میان باقیمانده دسته کارت بگیریم؛ در این صورت احتمال b اگر a، یا  P(b| a اگر) برابر ۱۲/۵۱ یا ۴/۷ خواهد بود. اگر a و هم b رخ دهند آنگاه سومین کارت از یک دسته کارت ۵۰ تایی که شامل ۱۱ پیک است کشیده خواهد شد. اگر c این آخرین رویداد باشد آنگاه احتمال c وقتی a و هم b رخ‌داده باشند، یعنیP(c|b وهم a اگر)  برابر ۱۱/۵۱ خواهد شد. بنابراین احتمال آمدن آنکه هر سه پیک باشند، وقتی کارت‌ها کشیده برگردانده شوند، طبق قضیه حاصل‌ضرب برابر ۱۱/۵۰ × ۱۲/۵۱ × ۱۳/۵۲  و به عبارتی ۱۱/۸۵۰ خواهد بود.  این کمتر از احتمال به دست آوردن سه پیک وقتی کارت کشیده شده به دسته کارت برگردانده شود است. انتظار نیز همین بود، چراکه برگرداندن پیک احتمال به دست آورد پیک در دور بعد را افزایش می‌دهد.

    قضیه عام حاصل‌ضرب را می‌توان درباره پیامدهای عالم واقع، همان‌طور که در ادامه و در شرح واقعی یک مورد خواهید دید، به کار زد. در کالیفرنیا یک نوجوان مبتلابه سرطان خون/leukemia دیرینه در انتظار اهداکننده مناسب برای پیوند مغز استخوان بود که در غیر این صورت نه‌چندان دیر منجر به مرگ وی می‌گردید. وقتی تلاش‌ها برای پیدا کردن اهداکننده مناسب به شکست انجامید والدین وی به امید آنکه عمل پیوند مغز استخوان موفق میسر شود تصمیم به آوردن فرزند دیگری گرفتند. برای این کار ابتدا نیاز بود تا وازکتومی پدر دختر برگردانده شود که فقط ۵۰ درصد (۵/۰) شانس موفقیت آن بود. اگر این عمل موفقیت‌آمیز می‌بود امکان حاملگی مادر دختر در سن ۴۵ سالگی فقط  ۷۳/۰ بود. و فقط  ۱ در ۴ (۲۵/۰) شانس آن بود که مغز استخوان نوزاد آینده مناسب برای پیوند به خواهرش باشد، و تازه اگر چنین جور بودنی حاصل می‌شد فقط ۷/۰ شانس زنده ماندن در دوران عمل و شیمی‌درمانی وجود داشت.

    ب. احتمال رخدادهای جایگزینی

    گاهی می‌پرسیم: احتمال رخ دادن حداقل یک رویداد از یک محموله رویداد یعنی رخداد جایگزین پذیر چقدر است؟ این محاسبه را وقتی می‌توانیم انجام دهیم که احتمال هر رویداد مؤلفه‌ای را بدانیم یا بتوانیم برآورد نماییم. قضیه‌ای را که در این مورد بکار می‌بریم موسوم به قضیه حاصل جمع است.

    برای مثال ممکن است پرسیده شود که: احتمال کشیدن یک تک پیک یاتک گشنیز از یک دسته کارت چقدر است؟ آشکار است که حاصل شدن هر یک از این پیشامدها، هرکدام که می‌خواهد باشد. بیشتر از احتمال حاصل آمدن یکی از آن‌ها است و همچنین بزرگ‌تر از حاصل آمدن دوتای آن‌ها به‌صورت توأم است. در بسیاری حالات، مثل این‌یکی، احتمال رخداد جایگزینی آن‌ها صرفاً عبارت است از حاصل جمع احتمال مؤلفه‌ها. احتمال کشیدن یک تک ‌پیک ۱/۴ است، احتمال کشیدن یک تک گشنیز ۱/۴ است؛ احتمال کشیدن یک تک ‌پیک یا یک تک گشنیز  ۱/۴ + ۱/۴=۱/۴است. وقتی پرسش درباره رخداد توأم است ضرب می‌کنیم؛ وقتی پرسش درباره رخداد جایگزین است جمع می‌کنیم.

    در مثالی که آمد، دو رویداد مؤلفه‌ای دوبه‌دو ناسازگار [دارای ناسازگاری دوطرفه] بودند. به دست ‌آوردن یک تک پیک مستلزم آن بود که تک گشنیز به دست نیاید و همین‌طور به‌عکس. بنابراین قضیه حاصل جمع برای وقتی‌که رویدادها دوبه‌دو ناسازگارند  سرراست و ساده به‌قرار زیر خواهد بود.

    P(a یا b) = P(a) + P(b)

    این را می‌توان به هر تعداد انتخاب مانند آ یا ب یا ج یا . . . تعمیم داد. اگر همه این جایگزین‌ها دوبه‌دو ناسازگار باشند آنگاه احتمال رخ دادن یکی یا دیگری از آن‌ها، برابر جمع احتمالات هر یک از آن‌ها خواهد بود.

    گاهی نیاز است هم قضیه حاصل‌ضرب و هم قضیه حاصل جمع را بکار بزنیم. برای مثال، در بازی پوکر یک دست برگ تراز (پنج کارت از یک نوع) یک دست بسیار قوی است. می‌خواهیم بدانیم احتمال کشیدن چنین دستی چقدر است؟ ابتدا احتمال آمدن پنج برگ از یک نوع، به فرض پیک، را حساب می‌کنیم. این احتمال رخ دادن پنج رویداد توأم است که قطعاً نابسته نیستند، زیرا دست آوردن هر برگ پیک احتمال دست آوری برگ پیک بعدی را کاهش می‌دهد. با کار زدن قضیه حاصل‌ضرب برای رویدادهای وابسته داریم:

    ۱۳/۵۲ × ۱۲/۵۱ × ۱۱/۵۰  × ۱۰/۴۹  × ۹/۴۸ = ۳۳/۶۶۶۴۰

    همین نیز احتمال به دست آوردن پنج برگ دل و همین‌طور  احتمال به دست آوردن پنج برگ گشنیز و نیز به دست آوردن پنج برگ خشت هم است. این‌ها چهار رویداد جایگزین دو به دو ناسازگار هستند، بنابراین احتمال هرکدام از آن‌ها که می‌خواهد باشد جمع آن‌ها است:

    ۳۳/۶۶۶۴۰ × ۳۳/۶۶۶۴۰ × ۳۳/۶۶۶۴۰  × ۳۳/۶۶۶۴۰ = ۳۳/۱۶۶۶۰

    که کمی کمتر از  ۰/۰۰۲ است.  پس عجیب نیست که یک دست تراز، یک دست برنده باشد.

    رویدادهای قابل جایگزین اغلب دوبه‌دو ناسازگار نیستند و وقتی چنین نباشند محاسبه آن‌ها پیچیده‌تر خواهد بود. ابتدا به یک مثال ساده توجه کنید: احتمال به دست آوردن حداقل یک شیر در دو پرتاب یک سکه چقدر است؟ این مسلم است که دو مؤلفه (به دست آوردن یک شیر در پرتاب اول  یا به دست آوردن یک شیر در پرتاب دوم) دوبه‌دو ناسازگار نیستند و هردو می‌توانند رخ دهند. اگر صرفاً احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع کنیم آنچه به دست می‌آید   ۱/۲ + ۱/۲است، و این یعنی قطعیت- حال‌آنکه می‌دانیم پیشامد موردنظر ما قطعی نیست! این نشان از آن دارد که برای رویدادهای مؤلفه‌ای غیر دوبه‌دو ناسازگار قضیه حاصل جمع به‌طور مستقیم کار زدنی نیست. اما می‌توان آن را به‌طور غیرمستقیم به یکی از دو طریق به کار زد.

    یکم، می‌توانیم حالت‌های مطلوب را به مجموعه رویدادهای دوبه‌دو ناسازگار بشکنیم و سپس به‌سادگی احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع کنیم. در مثال اخیر سکه، سه رویداد مطلوب ما است: شیر – خط، خط – شیر  و شیر-شیر. احتمال هرکدام ( با کار زدن قضیه حاصل‌ضرب) ۱/۴  است. به دست آوردن یکی از این سه رویداد دوبه‌دو ناسازگار (با کار زدن قضیه حاصل جمع) برابر جمع آن‌ها: ۳/۴   یا  ۰/۷۵ است.

    طریق دیگری برای رسیدن به نتیجه یکسان نیز هست. می‌دانیم که هیچ پیشامدی نمی‌تواند هم مطلوب باشد و هم مطلوب نباشد. بنابراین احتمال مرکب جایگزینی که ما دنبال آن هستیم برابر است با احتمال رخ ندادن هیچ‌یک از مؤلفه‌های جایگزین منهای از یک. احتمال خط –خط  ۱/۴ است؛ بنابراین احتمال آمدن حداقل یک شیر در  یکی از پرتاب‌ها ۱ - ۱/۴ =۳/۴ یا ۰/۷۵  خواهد بود.  یعنی همان‌که قبل نیز حساب کرده بودیم. با کار زدن نشانه a برای رویداد غیر مطلوب نسبت به a، می‌توانیم قضیه رویدادهای جایگزینی که در آن رویدادهای مؤلفه‌ای دو به دو ناسازگار نیستند را مطابق زیر پیکربندی نماییم.

    P(a)=۱-P(a)

    احتمال رخ دادن یک رویداد برابر است با ۱ منهای احتمال رخ ندادن آن رویداد.

    گاهی روش اول و گاهی روش دوم ساده‌تر است. این دو روش را می‌توان با استفاده از مثالی که به دنبال می‌آید مقایسه کرد: فرض کنید دو گلدان داریم که در اولی دو مهره سفید و چهار مهره سیاه وجود دارد، دومی دارای سه مهره سفید و چهار مهره سیاه است. اگر یک مهره از هر گلدان به‌تصادف بکشیم، مطلوب است احتمال کشیدن حداقل یک مهره سفید.ید. با استفاده از روش اول حالت‌های مطلوب را به سه گزینه دوبه‌دو ناسازگار تقسیم می‌کنیم و سپس احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع می‌کنیم: (۱) یک مهره سیاه از یک گلدان و یک مهره سیاه از دومی (۲/۶×۱/۱۲=۱/۴)؛ (۲) یک مهره سیاه از گلدان اول و یک مهره سفید از دومی (۴/۶×۳/۱۲=۱/۶)؛ و (۲) یک سفید از هر دو گلدان (۲/۶×۳/۱۲=۱/۱۲). این‌ها دوبه‌دو ناسازگارند و می‌توان به‌سادگی آن‌ها را جمع کرد: ۱/۴ × ۱/۶ × ۱/۱۲ = ۱/۲. حاصل جمع عبارت از کشیدن حداقل یک مهره سفید است. در روش دوم احتمال شکست را معین می‌کنیم که برابر است با احتمال کشیدن یک مهره سیاه از هر دو گلدان (۴/۶×۹/۱۲) و آن را از ۱ کسر می‌کنیم. آنچه به دست می‌آوریم (۱-۱/۲=۱/۲) است. و البته که دو روش نتیجه یکسان به دست می‌دهند.

    کاربرد حساب احتمال گاهی به نتایجی منجر می‌شود که گرچه صحیح، ولی متفاوت از آنچه‌اند که ما فی‌الجمله با توجه به امور واقع در دست پیش‌بینی می‌کنیم. این‌گونه نتیجه را نتیجه غیر متوقع  می‌نامند. وقتی حل یک مسئله غیر متوقع است ممکن است فرد آن را اشتباه برآورد نماید و این به وی دلیری دهد در بازی‌ها درگیر شود؛ مثل این شرط‌بندی: دریکی از غرفه‌های شهربازی سه تاس انداخته می‌شود و متصدی غرفه (با ریسک یک دلار و برگشت یک دلار بیشتر در صورت بردن) شرط می‌بندد که هیچ‌یک از پرتاب سه تاس یک نیاید. هر تاس شش وجه دارد و شما سه شانس برای آمدن یک دارید؛ به‌ظاهر بازی منصفانه‌ای می‌آید.

    درواقع این بازی منصفانه‌ای نیست و طرف طرار که بر واقعیت غیر متوقع سرمایه‌گذاری می‌کند مبالغ هنگفت را درو می‌کند. این بازی وقتی منصفانه بود که فقط اگر ظاهر شدن هر عددی روی یکی از این تاس‌ها مانع از آمدن آن روی دو تاس دیگر می‌شد. آشکارا در این بازی این‌چنین نیست. بازیگر با راحتی خیال ولی به‌اشتباه (و ناخودآگاه) به‌وسیله و با تصور ناسازگاری دوطرفه(دو‌به‌دو ناسازگار) به گمراهی افتاده است. البته که شماره‌ها دو‌به‌دو ناسازگار نیستند و بعضی پرتاب‌ها منجر به آمدن یک عدد یکسان روی دو یا سه تاس خواهد شد. سعی بر شناسایی و شمارش همه پیشامدهای ممکن و سپس شمارش پیشامدهایی که در آن‌ها حداقل عدد یک آمده باشد به‌سرعت خستگی‌آور و نتیجتاً ناتوان‌کننده می‌گردد. چراکه، آمدن هر عددی مانع از آن نمی‌شود که آن عدد برای بقیه تاس‌ها نیاید. و این چنین است که این بازی یک گوش‌بری است — و  وقتی بهتر آشکار می‌شود که شانس بردن را ابتدا با تعیین شانس باختن و سپس کسر آن از عدد ۱ محاسبه کرد. احتمال آمدن یک غیر ۱ (یک ۲، یک ۳، یک ۴، یک ۵، یک ۶) مساوی ۵/۶ است. احتمال باختن، یعنی به دست آمدن سه غیر ۱ به‌قرار ۵/۶ × ۵/۶ × ۵/۶  است (زیرا پرتاب تاس‌ها نابسته به هم هستند.) این برابر ۱۲۵/۲۱۶ یا  ۰/۵۷۹ است! بنابراین، احتمال آنکه بازیکن حداقل در یک پرتاب یک بیاورد برابر ۱-۱۲۵/۲۱۶=۹۱/۲۱۶ یا ./۴۲۱ است.

    اکنون روی مسئله به نسبت سخت‌تری در احتمال کار می‌کنیم. بازی کرپ[craps] ببا دو تاس بازی می‌شود. تاس انداز و وقتی برنده می‌شود که در دور اول ۷ یا ۱۱ بیاید و بازنده خواهد شد اگر عدد در دور اول عدد ۲، ۳ و یا ۱۲ بیاید. اگر در دور اول یکی از بقیه اعداد ۱۰ ،۹ ،۸، ۶، ۵، ۴ بیاید، تاس انداز دور بعدی را آغاز می‌کند تا اینکه یا همان عدد بیاید که در این صورت تاس انداز برند می‌شود یا ۷ بیاید که در این صورت تاس‌انداز خواهد باخت. به‌طور گسترده عقیده بر این است که کرپ یک بازی "منصفانه" است – یعنی یک بازی که در آن تاس‌انداز شانس مساوی برای بردن دارد. آیا همین‌گونه است؟ اکنون احتمال آنکه تاس‌انداز برنده شود را محاسبه می‌کنیم.

    برای این کار، ابتدا باید احتمال‌های رخ دادن شماره‌های مختلف را به دست آوریم. به ۳۶ طریق ممکن، با احتمال مساوی، دو تاس می‌توانند فرود آیند. فقط دریکی از این طریقه‌ها می‌تواند یک ۲ ظاهر شود، بنابراین احتمال این پیش آمد ۱/۳۶ است. فقط دریکی از این طریقه‌ها می‌تواند یک ۱۲ ظاهر شود، بنابراین احتمال این پیش آمد نیز ۱/۳۶ است. به دو طریق، ۲-۱ و ۱-۲، می‌تواند حاصل آمدن ۳ باشد، بنابراین احتمال آمدن یک ۳ برابر ۲/۳۶ است. به همین طریق احتمال آمدن یک ۱۱ نیز ۲/۳۶ است. به سه طریق می‌تواند یک ۴ به دست آید:۱-۳، ۲-۲، ۳-۱، بنابراین احتمال آمدن یک ۴ برابر ۳/۳۶ است. به همین طریق احتمال آمدن یک ۱۰ نیز ۳/۳۶ است. به چهار طریق می‌تواند یک ۵ بیاید (۱-۴، ۲-۳، ۳-۲، و ۴-۱)، بنابراین احتمال آمدن یک ۵ برابر ۴/۳۶ است و بعلاوه همین احتمال آمدن ۹ نیز هست. یک ۶ می‌تواند به یکی از ۵ طریق (۴-۲، ۳-۳، ۲-۴، ۵-۱، و ۱-۵) به دست آید، بنابراین احتمال یک ۶ برابر ۵/۳۶ است و بعلاوه همین احتمال برای آمدن ۸ نیز هست. شش ترکیب مختلف هست که ۷ را به دست می‌دهد ( ۶-۱، ۵-۲، ۴-۳، ۳-۴، ۲-۵، ۱-۶)، بنابراین احتمال آمدن ۷ برابر ۶/۳۶ است.

    احتمال برنده شدن تاس‌انداز در دور اول برابر است با حاصل جمع احتمال آمدن ۷  و احتمال آمدن ۱۱ که برابر است با ۶/۳۶+۲/۳۶=۸/۳۶  یا ۲/۹ احتمال باخت در دور اول برابر حاصل جمع احتمال آمدن یک ۲، یک ۳، و یک ۱۲ که برابر است با ۱/۳۶+۲/۳۶+۱/۳۶=۴/۳۶ یا ۱/۹. احتمال برد تاس‌انداز در دور اول دو برابر احتمال باخت تاس انداز در دور اول است، اما به‌احتمال بیشتر هیچ‌کدام از این‌ها در دور اول نیاید و در عوض اعداد ۴، ۵، ۶ ،۸، ۹ یا ۱۰ ظاهر شوند. اگر یکی از این شش عدد بیاید تاس‌انداز مجبور است تاس اندازی را ادامه دهد تا اینکه مجدداً آن عدد بیاید که در این حالت تاس‌انداز برنده خواهد شد یا اینکه یک ۷ بیاید که در این صورت بازنده خواهد بود. آن حالت‌ها که نه عدد بار اول و نه عدد ۷ به دست آید قابل‌چشم‌پوشی هستند زیرا نقش تعیین‌کننده ندارند. فرض کنید تاس‌انداز در بار اول یک ۴ به دست آورد. در دور بعد حالت تعیین‌کننده [decisive] آمدن یک ۴ یا یک ۷ است. در دور تعیین‌کننده سه ترکیب با امکان مساوی ۴ را می‌سازد (۳-۱، ۲-۲، ۱-۳) و شش ترکیب ۷ را خواهند ساخت. بنابراین امکان آمدن یک ۴ در دور بعدی تعیین‌کننده ۳/۹ است. احتمال به دست آوردن یک ۴ در دور اول ۳/۳۶ بود، بنابراین احتمال بردن، آمدن یک ۴ در دور اول و سپس به دست آورد یک ۴ دیگر قبل آمدن ۷ برابر ۳/۳۶×۹/۳۶=۱/۳۶ است. به طریق مشابه احتمال برنده شدن تاس‌انداز به‌وسیله آمدن یک ۱۰ در دور اول و سپس به دست آوردن یک ۱۰ دیگر قبل از آمدن یک ۷ نیز ۳/۳۶×۹/۳۶=۱/۳۶ است.

    با همین نحو استدلال می‌توانیم برندگی تاس انداز را وقتی در اولین دور یک ۵ به دست می‌آید و سپس یک ۵ دیگر قبل از آمدن ۷ به دست می‌آید را حساب کنیم. در این حالت، ۱۰ وضعیت با احتمال مساوی برای دور تعیین‌کننده وجود دارد: به چهار طریق (۴-۱، ۳-۲، ۲-۳، ۱-۴) ساخته می‌شود و به شش طریق نیز یک ۷ ساخته می‌شود. بنابراین احتمال برنده شدن با یک ۵ برابر ۴/۳۶×۴/۱۰=۲/۴۵ است. احتمال بردن با یک ۹ نیز ۲/۴۵ است. عدد ۶ نیز با احتمال بیشتر ممکن است در دور اول رخ دهد که احتمال آن ۵/۳۶ است و همین‌طور احتمال آمدن دوباره آن‌که از بقیه حالت های گفته‌شده قبل بیشتر است قبل از آمدن یک ۷ به‌قرار ۵/۱۱ است. بنابراین احتمال برنده شدن با ۶ برابر ۶/۳۶×۵/۱۱=۲۵/۳۹۶ است. و به همین شیوه احتمال برنده شدن با یک ۸ برابر ۲۵/۳۹۶ است.

    هشت طریق متفاوت برای برنده شدن تاس‌انداز وجود دارد: اگر در دور اول یک ۷ یا ۱۱ بیاید، یا یکی از شش عدد ۴، ۵، ۶، ۸، ۹، یا ۱۰ در دور اول بیاید و دوباره این عدد قبل از یک ۷ بیاید. همه این حالت‌ها ناسازگارند، بنابراین احتمال کل برنده شدن تاس‌انداز برابر خواهد شد با حاصل جمع احتمال طریقه‌های جایگزینی که برای بردن ممکن است و این برابر است با

    ۶/۳۶+۲/۳۶+۱/۳۶+۲/۴۵+ ۲۵/۳۹۶+۲۵/۳۹۶+۲/۴۵+۱/۳۶=۲۴۴/۴۹۵.

     که اگر آن را به اعشاری نشان دهیم داریم ۰/۴۹۳. این نشان می‌دهد که در بازی کرپ تاس انداز شانس کمتر از برابر برای بردن دارد — و اگر بخواهیم مطمئن بگوییم، شانس فقط کمی کمتر، ولی در به‌هرحال کمتر از ۰/۵.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    یلدا 1 ماه قبل
    0

    احتمالی که غیر ممکن باشد را با عدد نشان می دهند

    مهدی 2 سال قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    0
    یلدا 1 ماه قبل

    اوک

    برای ارسال نظر کلیک کنید