توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    اندازه زاویه محاطی مقابل به قطر دایره چند درجه است

    1 بازدید

    اندازه زاویه محاطی مقابل به قطر دایره چند درجه است را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

    اندازه زاویه محاطی

    اندازه زاویه محاطی

    در این بازی آموزشی دانش آموزان ابتدایی مقطع ششم به خوبی با مفهوم (دایره و اندازه زاویه محاطی) آشنا خواهند شد.

    شرح بازی آموزشی

    همان طور که در ابتدای بازی آموزشی نیز مشاهده می نمایید زاویه ایی که رأس آن روی محیط دایره و اضلاع آن وترهای دایره هستند را زاویه محاطی می گویند.

    در این بازی آموزشی می خواهیم به شرح رابطه اندازه هر زاویه محاطی و نصف کمان رو به روی آن بپردازیم با ما همراه باشید.

    در ابتدا بر روی دکمه شروع کلیک نمایید، همان گونه که مشاهده می نمایید، یک زاویه محاطی با زوایه(.90) داریم از قبل می دانیم که هر زاویه محاطی رو به روی قطر دایره برابر با 90 درجه می باشد.

    همان گونه که در شکل فوق می بینیم در این مرحله می توانید با یک بار کلیک بر روی دکمه زرد رنگ که با فلش شماره(1) مشخص شده است زاویه مورد نظر خود را تغییر دهید، حال تغییرات را روی زاویه که با فلش شماره(2) مشخص شده است مشاهده نمایید.

    به شکل های زیر توجه نمایید:

    حال با انجام بازی آموزشی زیر، خود می توانید تغییرات اعمال شده را مشاهده نمایید.

    زاویه محاطی

    زاویهٔ محاطی در هندسه هنگامی ساخته می‌شود که دو خط گذرا از روی دایره (یا در تباهیدگی یک خط قطع‌کننده و یک خط مماس) با یکدیگر روی پیرامون دایره برخورد کنند.

    به بیان ساده‌تر اگر یک زاویه درون یک دایره باشد و ضلع‌های زاویه، دو وتر از دایره باشد که با هم یک نقطهٔ مشترک دارند، چنین زاویه‌ای زاویهٔ محاطی نام دارد. در کتاب سوم اصول اقلیدس، گزاره‌های ۲۰ تا ۲۲، ویژگی‌های این زاویه گفته شده‌است. اگر یک زاویهٔ مرکزی و یک زاویهٔ محاطی هر دو یک کمان از دایره را دربرداشته باشند، اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف زاویهٔ مرکزی خواهد بود.

    اثبات[ویرایش]

    زاویهٔ محاطی با یک قطر[ویرایش]

    اگر O مرکز دایره باشد، دو نقطهٔ بر روی پیرامون دایره برگزینید و آن‌ها را به ترتیب V و A بنامید. V را به O وصل کنید و آن را ادامه دهید تا با پیرامون دایره در نقطهٔ B برخورد کند. چون این خط از مرکز دایره گذشته‌است پس قطر دایره‌است در نتیجه V در یک سوی قطر و B در سوی دیگر آن جای گرفته‌است. حال زاویه‌ای بکشید که راس آن در نقطهٔ V باشد و دو لبهٔ آن از A و B بگذرد.

    نقطهٔ A را به O وصل کنید. زاویهٔ BOA یک زاویهٔ مرکزی است. آن را θ بنامید. دو پاره خط OA و OV با هم برابرند چون هر دو شعاع دایره‌اند. پس مثلث VOA متساوی‌الساقین است. در نتیجه دو زاویهٔ BVA (زاویهٔ محاطی) و VAO با هم برابرند. هر دوی این زاویه‌ها را ψ می‌نامیم.

    زاویه‌های BOA و AOV با هم مکمل اند و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه می‌شود. چون خط VB از O می‌گذرد و یک خط راست است پس اندازهٔ زاویهٔ AOV از رابطهٔ ۱۸۰° − θ بدست می‌آید.

    از سوی دیگر می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه‌است. سه زاویهٔ داخلی مثلث VOA عبارتند از: ۱۸۰° − θ و ψ ،ψ. بنابراین:

    ۱۸۰° را از دو سوی تساوی برمی‌داریم.

    که در آن θ زاویهٔ مرکزی کمان AB است و ψ زاویهٔ محاطی همان کمان است که اندازه‌ای برابر با نصف آن دارد.

    زاویهٔ محاطی و مرکز دایره درون آن[ویرایش]

    دایره‌ای با مرکز O را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ V, C و D را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط VC و VD را بکشید. زاویهٔ DVC یک زاویهٔ محاطی است. حال خط VO را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ E برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی DVC، کمان DC نام دارد.

    کمان DC نقطهٔ E را در بر می‌گیرد و می‌دانیم که این نقطه بر روی قطری از دایره قرار دارد. از سوی دیگر زاویه‌های DVE و EVC هر دو زاویهٔ محاطی‌اند. در بخش پیشین بدست آوردیم که اگر یک ضلع زاویهٔ محاطی از مرکز دایره بگذرد اندازهٔ آن برابر نصف کمان روبروی آن است. حال از داده‌های بخش پیشین بهره می‌گیریم:

    پس داریم:

    نتیجه می‌گیریم:

    حال خط‌های OC و OD را می‌کشیم. زاویهٔ DOC یک زاویهٔ مرکزی است. همچنین زاویه‌های DOE و EOC هم زاویه‌های مرکزی‌اند؛ و می‌دانیم:

    اگر فرض کنیم:

    آنگاه:

    پیشتر از بخش یک می‌دانیم که θ 1 = 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} و θ 2 = 2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}} با توجه به تمامی این داده‌ها و معادلهٔ (۲) بدست می‌آوریم که:

    با توجه به رابطهٔ (۱) خواهیم داشت:

    زاویهٔ محاطی که مرکز دایره در بیرون آن جای دارد[ویرایش]

    دایره‌ای با مرکز O را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ V, C و D را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط VC و VD را بکشید. زاویهٔ DVC یک زاویهٔ محاطی است. حال خط VO را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ E برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی DVC، کمان DC نام دارد.

    می‌دانیم که نقطهٔ E که بر روی قطری از دایره جای دارد. همچنین می‌دانیم که زاویه‌های DVE و EVC هم زاویه‌هایی محاطی‌اند. در بخش‌های پیشین نشان دادیم که اندازهٔ زاویهٔ محاطی که ضلعش از روی مرکز دایره بگذرد برابر نصف کمان روبرویش است. پس خواهیم داشت:

    اگر فرض کنیم:

    آنگاه

    خط‌های OC و OD را بکشید. زاویهٔ DOC یک زاویهٔ مرکزی است همچنین می‌دانیم که زاویه‌های DOE و EOC هم زاویه‌هایی مرکزی‌اند. با توجه به آنکه

    اگر فرض کنیم

    آنگاه خواهیم داشت:

    با توجه به نکته‌هایی که در بخش یک گفته شد می‌دانیم که θ 1 = 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} و θ 2 = 2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}} است. با توجه به این تساوی‌ها و رابطهٔ (۴):

    پس، از رابطهٔ (۳) خواهیم داشت:

    منابع[ویرایش]

    پیوند به بیرون[ویرایش]

    زاویه محاطی - قضیهٔ زاویهٔ محاطی و اثبات آن در حالت‌های مختلف - ریاضیات تکمیلی

    زاویه محاطی - قضیهٔ زاویهٔ محاطی و اثبات آن در حالت‌های مختلف - ریاضیات تکمیلی

    قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به ‌آن زاویه برابر است.

    فرض. زاویه‌ای، مانند زاویهٔ \(ABC\)، یک زاویهٔ محاطی در یک دایره است.

    حکم. اندازهٔ زاویهٔ \(ABC\)، نصف اندازهٔ کمان \(ABC\) است.

    اثبات. فرض کنیم نقطهٔ \(O\) مرکز دایره باشد. سه‌حالت برای زاویهٔ \(ABC\) در نظر می‌گیریم:
    حالت اول. نقطهٔ‌ \(O\) روی یکی از ضلع‌های زاویهٔ \(ABC\) باشد.


    حالت دوم. نقطهٔ‌ \(O\) درون زاویهٔ \(ABC\) باشد.


    حالت سوم. نقطهٔ‌ \(O\) بیرون زاویهٔ \(ABC\) باشد.

    اثبات حالت اول. فرض کنیم \(O\) روی \(AB\) باشد. برای سادگی، اندازهٔ زاویهٔ \(ABC\) را با \(x\) نشان می‌دهیم.

    از \(O\) به \(C\) وصل می‌کنیم. در این‌صورت \(OB=OC\). (چرا؟)

    پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، داریم: \[O\widehat{B}C=O\widehat{C}B=x.\quad(1)\]

    از رابطهٔ \((1)\) و قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث نتیجه می‌شود که \(A\widehat{O}C=2x\). چون زاویهٔ \(AOC\) زاویهٔ مرکزی است، پس اندازهٔ کمان \(AC\) نیز برابر \(2x\) است.

    بنابراین، زاویهٔ محاطی \(ABC\) نصف کمان روبه‌رویش است.

    اثبات حالت دوم. پاره‌خطی از \(B\) به \(O\) وصل می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا دایره را در نقطهٔ‌ \(D\) قطع کند. برای سادگی قرار می‌دهیم \(A\widehat{B}D=y\) و \(C\widehat{B}D=z\).

    در این‌صورت، اندازهٔ کمان‌های \(AD\) و \(BC\) به‌ترتیب برابر \(2y\) و \(2z\) است. (چرا؟)

    اثبات حالت سوم. پاره‌خطی از \(B\) به \(O\) وصل می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا دایره را در نقطهٔ \(D\) قطع کند. برای سادگی قرار می‌دهیم \(A\widehat{B}C=w\) و \(A\widehat{B}D=t\).

    در این‌صورت، اندازهٔ کمان‌های \(CAD\) و \(AD\) به‌ترتیب برابر \(2w+2t\) و \(2t\) است. (چرا؟)

    در نتیجه: \[\begin{aligned}\overset{\frown}{AC}&=\overset{\frown}{CAD}-\overset{\frown}{AD}\\&=2(w+t)-2t\\&=2w+2t-2t\\&=2w.\end{aligned}\]

    پس اندازهٔ زاویهٔ \(ABC\) نصف کمان روبه‌رویش است.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    حسین : ۹۰درجه چون دایره نصف شده و اندازه ترکمان ۱۸۰ درجه است و زاویه محاطی نصف کمان روبه رویش است

    ناشناس : ۹۰ درجه

    علی : 90درجه

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    Rogayeh 30 روز قبل
    0

    با سلام

    جواب میشه 90درجه

    180-90=90

    یاهمان دو برابر ۹۰درجه

    ناشناس 2 ماه قبل
    0

    ۹۰

    هومن 9 ماه قبل
    0

    90

    بهشاد 10 ماه قبل
    1

    عدد های 4و27نسبت به هم هستند

    ناشناس 1 سال قبل
    0

    زاویه های محاطی مقابل به یک کمان ............ هستند

    3
    ناشناس 7 ماه قبل

    ۹۰

    کوثر 1 سال قبل
    -2

    سلام میشه جواب رو بگین بهمون

    زهرا 1 سال قبل
    1

    سلام.

    ما اگر یک قطری بکشیم در دایره،

    دایره ما نصف می شود و هرکدوم به ۱۸۰درجه تبدیل می شوند.

    زاویه محاطی نصف کمان روبه رویش است پس ۱۸۰درجه بر ۲ تقسیم می شود که می شود۹۰

    علی 1 سال قبل
    4

    90درجه

    ghazal.nf 1 سال قبل
    2

    سلام جوابش میشه (اندازه زاویه محاطی روبرو به قطر دایره 90 درجه است)

    شاهین 1 سال قبل
    0

    اندازه زاویه محاطی مقابل به قطر دایره چند است

    6
    ناشناس 1 سال قبل

    ۹۰ درجه

    حسین 1 سال قبل
    13

    ۹۰درجه چون دایره نصف شده و اندازه ترکمان ۱۸۰ درجه است و زاویه محاطی نصف کمان روبه رویش است

    شایان 1 سال قبل
    -1

    ۱۸۰درجه

    ۱۸۰درجه 1 سال قبل
    -1

    ۱۸۰درجه نصفش میشه ۹۰

    مهدی 2 سال قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    2
    شاهین 1 سال قبل

    اگه مبشه زود تر

    برای ارسال نظر کلیک کنید