ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است

ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

قضیه نیمساز - اثبات قضیهٔ نیمساز و عکس آن با استفاده از حالت‌های همنهشتی مثلث‌ها

در کدام شکل (شکل‌های) زیر، نقطهٔ \(O\) مرکز تقارن دو مثلث رسم شده است؟

منبع مطلب : www.takmili.com

مدیر محترم سایت www.takmili.com لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

قضیه نیمساز زاویه

قضیه ای در هندسه می باشد که به صورت زیر تعریف می شود:

در هر مثلث، نیمساز هر زاویه داخلی، ضلع مقابل خود را به نسبت اضلاع خود قسمت می کند.

در مثلث شکل مقابل AD نیمساز زاویه ی داخلی A می باشد. در نتیجه نسبت زیر بر قرار است.

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

اثبات قضیه[ویرایش]

مثلث ABC مطابق شکل مفروض است. از راس C خطی به موازات AE رسم می کنیم تا امتداد AB را در D قطع کند. بنابر قضیه ی خط مورب دو خط موازی داریم:

A₁=C₁

همچنین D₁ نیز با A₂ برابر است. بنابر قضیه ی زاویه های متقابل‌به‌رأس داریم:

D₁=A₂

از طرفی چون طبق فرض A₁ و A₂ برابرند (بعلت اینکه AE نیم ساز داخلی A در مثلث ABC است) پس داریم:

C₁=D₁

پس بنابر ویژگی های مثلث متساوی‌الساقین می توان نتیجه گرفت که ADC یک مثلث متساوی‌الساقین است. پس داریم: ${\displaystyle AD=AC}$ حال در مثلث BCD که دو ضلع AE و DC موازی هستند، بنابر قضیه تالس می توانیم بنویسیم:

${\displaystyle {\frac {|BA|}{|AD|}}={\frac {|BE|}{|EC|}}}$

حال چون نتیجه گرفتیم که ${\displaystyle AD=AC}$ پس می توانیم بنویسیم:

${\displaystyle {\frac {|BA|}{|AC|}}={\frac {|BE|}{|EC|}}}$

که با این کار به حکم قضیه می رسیم و قضیه اثبات می شود.

کاربردهای قضیه[ویرایش]

یکی از کاربرد های مهم این قضیه در اثبات قضیه ی زیر است.

در هر مثلث متساوی‌الاضلاع، نیمساز هر زاویه داخلی، بر میانه منطبق است.

به راحتی با استفاده از قضیه ی زاویه ی نیمساز می توانیم بگوییم که نیم ساز زاویه ی دو ساق، ضلع مقابل را به نسبت دو ساق تقسیم می کند. از آنجا که دو ساق در این مثلث با هم برابرند پس این نیم ساز ضلع روبرو را نصف می کند. که این به معنای آن است که این نیم ساز همان میانه ی ضلع مقابل هم می باشد.

قضیه در فضای سه بعدی[ویرایش]

این قضیه در یک صفحه اثبات شد. چون این قضیه مربوط به یک مثلث می باشد، و از هر سه نقطه ی درون فضا تنها یک صفحه می‌گذرد، می توان نتیجه گرفت که برای هر مثلث درون فضا نیز این قانون وجود دارد و این قضیه در فضا هم مطرح می شود.

منابع[ویرایش]

planetmath.org

منبع مطلب : fa.wikipedia.org

مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

جواب کاربران در نظرات پایین سایت

مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

مریم : چون ADضلع مشترک و همچنین وتر است Aبه دوقسمت مساوی تقسیم میشه در حالت [وتر و زاویه ]مثلث AHDوAKDبرابر است پس HD باDKبرابر استش

محمد : جواب شما کاملا درست بود