توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    در دو شکل متشابه نسبت ضلع های متناظر را چه مینامند

    1 بازدید

    در دو شکل متشابه نسبت ضلع های متناظر را چه مینامند را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

    تشابه دوشکل هندسی

    تشابه

    تشابه به معنی به هم مانند بودن و به یکدیگر شبیه بودن می باشد. دو تصویر که از یک منظره تهیه شده اند ولی از لحاظ اندازه ها با هم تفاوت دارند, دو تصویر مشابهند.

    پانتوگراف

     نام وسیله ای است که برای رسم شکلهای متشابه از آن استفاده می شود.

    نماد تشابه: برای نمایش تشابه دو شکل از نماد ~ استفاده می شود.

    اگر شکل Aو'A متشابه باشند, می نویسیم:'A~A

    نسبت تشابه: عددی است که تغییرات بزرگی یا کوچکی اندازه های اضلاع دو شکل متشابه را نشان می دهد. این عدد همان نسبت اجزای متناظر در دو شکل متشابه می باشد. در تصویر بالا مشاهده می کنیم که هر یک از اضلاع شکل A دو برابر شده اند, عدد 2 یا را نسبت تشابه این دو شکل می گوییم.

    کاربردهای تشابه: نقشه هر مکان با آن مکان متشابه است. ماکت یک ساختمان با آن ساختمان متشابه است. مهندسین راه و ساختمان محاسبات لازم را برای ساختن یک مکان بروی ماکت آن انجام می دهند و پس از مشخص شدن تمامی جزئیات اقدام به ساخت آن می کنند. امروزه متخصصان علم شبیه سازی علوم پزشکی, در کشور عزیزمان ایران به پیشرفتهای قابل توجهی دست یافته اند به طوریکه بعضی از اعضای بدن انسان را در محیط های شبیه سازی شده, تولید می کنند. در علوم کامپیوتر نرم افزارهای طراحی شده قادرند تصاویر قدیمی را بازسازی کرده و در اندازه های مختلف و به تعداد دلخواه تکثیر کنند. در ریاضیات شرایط لازم برای تشابه دوچند ضلعی را بررسی کرده و سپس به کمک نسبت تشابه مقادیر نامعلوم را محاسبه می کنیم.تناسب اضلاع دو چند ضلعی متشابه به ما کمک می کند روابط زیبایی را در اشکال هندسی به دست آوریم این رابطه های مهم در شکل های هندسی هستند که به ایجاد یک نرم افزار, ایجاد یک محیط شبیه سازی شده, رسم نقشه یک مکان, ساخت دقیق یک ماکت ساختمان و ... کمک می کنند.

     تشابه دو n ضلعی: دو n ضلعی در صورتی متشابه اند که:

    1- زاویه هایشان دو به دو مساوی باشند.

    2- اضلاعشان متناسب باشند.

    مثال: دو مربع دلخواه متشابهند. اگر دو مستطیل دارای طول ها و عرض های متناسب باشند, متشابهند اگر زوایای نظیر دو لوزی مساوی باشند, متشابهند.

    تشابه دو مثلث

    1- اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر متساوی باشند, آن دو مثلث متشابهند.

    2- اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه های بین آنها متساوی باشند, آن دو مثلث متشابهند.

    3- اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند آن دو مثلث متشابهند.

    شکلهای متشابه:ملاحضه کردیم که تشابه, طول پاره خطها را به یک نسبت بزرگ یا کوچک می کند, اما اندازه زاویه ها را تغییر نمی دهد. با نوشتن تناسب اضلاع دو شکل متشابه می توان رابطه های مهمی را نتیجه گرفت. این رابطه های مهم علاوه بر محاسبه مقادیر نامعلوم کاربردهای فراوان در ریاضیات و سایر علوم دارند.

    مثال:

    1- ثابت کنید دو مثلث ABC و ADE متشابهند و از آنجا نتیجه بگیرید: 

    2- ثابت کنید دو مثلث MBCو MAD متشابهند و از آنجا نتیجه بگیرید:

    آزمون تشخیص اعداد اول

    منبع مطلب : riazishahidi.blogfa.com

    مدیر محترم سایت riazishahidi.blogfa.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 - یک اصل مهم در ریاضی دهم - ریاضیکا

    تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 - یک اصل مهم در ریاضی دهم - ریاضیکا

    مفهوم دیگری که در فصل دوم کتاب ریاضی یازدهم تجربی بیان شده است در مورد تشابه مثلث ها است. این مفهوم به سادگی با کمک قضیه تالس قابل اثبات است. تشابه مثلث ها مفهومی مهم و کاربردی است که در ادامه با آن بیشتر آشنا می‌شویم.

    در پست آموزش مثلثات و نسبت‌هایش خواندید دو مثلث وقتی با هم متشابه‌اند که تمام زاویه های نظیر به نظیرشان با هم برابر باشند. در مثلث‌های متشابه اضلاع متناظر نیز با هم تناسب دارند. وقتی می‌گوییم مثلث ABC و ‘A’B’C با هم متشابه‌اند که:

    زمانیکه شما بر روی شکلی در گوشی یا رایانه خوتان زوم می‌کنید، در اصل شکلی متشابه با آن شکل را می بینید که اضلاع آن به یک تناسب بزرگ شده‌اند. و نکته مهم اینجاست که اندازه زاویه ها تغییر نکرده است.

    قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

    صورت قضیه :
    اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند، در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می‌آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است.

    اثبات :

    پس زاویه ها مساوی واضلاع متناسب هستند. در نتیجه مثلث‌ها متشابه‌اند:

    با استفاده از قضیه اساسی تشابه می‌توان قضیه‌های زیر را بیان و اثبات کرد. البته اثبات آن‌ها مدنظر کتاب ریاضی پایه یازدهم تجربی نیست. اما ما در اینجا اثبات این قضیه‌های مهم تشابه را برایتان بیان می‌کنیم. با استفاده از آن‌ها و با داشتن اندازه بعضی از اضلاع و یا زاویه‌ها، می‌توان به تشابه مثلث ها پی‌ برد.
    قضیه 1: هرگاه دو زاویه از دو مثلث با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم متشابه‌اند.

    اثبات ۱:
    چون دو زاویه این دو مثلث برابرند پس زاویه سوم نیز برابر است.

    برای اثبات این قضیه با اندازه ‘A’B روی AB جدا می کنیم و آن را “AB می‌نامیم. به اندازه ی ‘A’C روی AC جدا کرده و آن را نیز “AC نامگذازی می‌کنیم. “B را به “C وصل می‌کنیم. دو مثلث ‘A’B’C و “A”B”C بایکدیگر هم‌نهشت هستند، زیرا :

    از طرفی :

    پس نتیجه می‌گیریم طبق قضیه توازی BC با “B”C موازی است. در نتیجه طبق قضیه اساسی، دو مثلث ABC و ‘A’B’C متشابه هستند. از طرفی چون دو مثلث “AB”C و ‘AB’C با یکدیگر برابرند، پس طبق اصل تشابه مثلث ها دو مثلث ABC و ‘A’B’C نیز متشابه هستند.

    قضیه 2:

    هرگاه دو ضلع از دو مثلث با هم متناسب و زاویه بین دو ضلع از دو مثلث برابر باشند، آنگاه دو مثلث متشابه‌اند.

    اثبات ۲: برای اثبات این قضیه روی ضلع AB به اندازه ‘A’B جدا می‌کنیم تا “AB به وجود آید. روی AC نیز به اندازه ‘A’C جدا می‌کنیم تا “AC به وجود آید. همچنین از “B به “C وصل می‌کنیم. دو مثلث “A”B”C و ‘A’B’C با هم برابرند. زیرا:

    در فرض داشتیم:

    در این تناسب به جای ‘A’B و ‘A’C دو ضلع “AB و “AC را جایگذاری می‌کنیم و خواهیم داشت:

    از طرفی می‌دانیم:

    قضیه 3 تشابه مثلث ها:
    اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند آن دو مثلث متشابه هستند.

    روی ضلع AB به اندازه ‘A’B جدا می‌کنیم. پس ‘AB” = A’B و آن را “B می‌نامیم . سپس “B”C را موازی BC را رسم می‌کنیم . در نتیجه خواهیم داشت:

    پس دو مثلث “A”B”C و ‘A’B’C با هم به حالت سه ضلع برابرند.

    از طرفی چون BC با “B”C موازی است پس طبق قضیه توازی داریم:

    مثال ۳: در شکل زیر دو زاویه A> و B> با هم برابرند X و Y را بدست آورید ؟

    حل ۳: با استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه داریم .

    نکته در تشابه مثلث ها: گاهی دانش آموزانی در نوشتن ضلع‌های متناسب دچار مشکل هستند. به خصوص در بعضی شکل‌ها که اضلاع مشترک دارند. برای تشخیص ضلع‌های متناظر متناسب باید ابتدا زاویه‌های برابر را پیدا کرده. در این حالت اضلاع روبرویشان با هم متناسب هستند.

    مثلاً در شکل بالا:

     \( \LARGE <A = < D_1 \)

    مشترک \( \LARGE <C = <C \)

    \( \LARGE <E = <B \)

    چون زاویه \( \LARGE < D_1 \)در مثلث DEC روبروی EC است و ضلع BC در مثلث ABC روبروی زاویه A است، پس دو ضلع EC و BC باهم متناسب هستند. کسر رو به رو را در نظر داشته باشید: \( \Large \frac{EC}{BC} \)

    از طرفی چون زاویه C بین دو مثلث EDC و ABC مشترک است، پس اضلاع رو به روی این زاویه در دو مثلت نیز باهم متناسب هستند. در نتیجه می‌توان کسر رو به رو را نیز در نظر گرفت \( \Large \frac{ED}{AB} \)

    در نهایت برای اضلاع رو به روی E و B نیز به همین ترتیب کسر \( \Large \frac{DC}{AC} \) را در نظر می‌گیریم. نتیجه نهایی:

    مثال ۴: در شکل زیر  \( \LARGE <A = < D_1 \) اندازه اضلاع خواسته شده را بدست آورید ؟

    حل ۴: با استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه داریم:

    یک مفهوم اساسی در تشابه مثلث ها

    وقتی دو مثلث با هم متشابه هستند، تمامی موارد زیر نیز با هم تناسب دارند:

    اگر نسبت اضلاع به یکدیگر K باشد، نسبت ارتفاع‌ها، نیمساز‌ها، میانهها و محیط هایشان نیز K خواهد بود. اما نسبت مساحت‌هایشان \( \Large K^2 \) می‌شود.

    در ادامه تناسب هر یک از موارد گفته شده را باهم اثبات می‌کنیم.

    ثابت کنید در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع‌ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آن‌ها برابر است.

    دو مثلث ABC و ‘A’B’C را در نظر می‌گیریم. ارتفاع‌های وارد بر اضلاع BC و ‘B’C را رسم می‌کنیم. حال دو مثلث ABH و ‘A’B’H را در نظر می‌گیریم. این دو مثلث طبق اصل تشابه مثلث ها با هم متشابه‌اند.

    از فرض نتیجه می‌گیریم:

    ادامهٔ قضایای مربوط به تشابه مثلث ها

    ثابت کنید در دو مثلث متشابه نسبت میانه‌ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است.

    در مثلث ABC و ‘A’B’C میانه‌های وارد بر BC و ‘B’C را رسم می‌کنیم. پس:

    ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت نیمسازها با نسبت اضلاع با هم برابر است.

    نیمساز دو زاویه A و ‘A را رسم می‌کنیم و آنها را AD و ‘A’D می‌نامیم.

    چون A’ = <A> است، پس وقتی نیمسازهای آنها را رسم می‌کنیم زوایای \( \LARGE <A’_1 = < A \) نیز با هم برابر می‌شوند. پس داریم:

    ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت محیط‌ها با نسبت اضلاع متناسب برابر است.

    نکته: رابطه‌ٔ زیر یکی از خواص تناسب است:

    ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است.

    چند مثال از قضایایی که تا کنون یادگرفتم

    مثال ۵: دو مثلث با هم متشابه‌اند. اگر نسبت تشابه آن‌ها \( \Large \frac{3}{5} \) باشد، نسبت مساحت‌های آن‌ها چقدر است؟

    حل ۵: در قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است. در نتیجه می‌نویسیم:

    مثال ۶: دو مثلث ABC و ‘A’B’C با هم متشابه‌اند. اگر محیط ABC برابر 10 و AB’ = 8 و B’C’ = 7 و A’C’ = 5 باشند، سوالات زیر را پاسخ دهید:
    الف ) نسبت مساحت‌های آن‌ها چقدر است؟
    ب ) اگر مساحت ABC = 18 باشد مساحت ‘A’B’C چقدر است ؟

    حل ۶: در آموزش قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه نسبت محیط ها با نسبت اضلاع متناسب با هم برابر است و نسبت مساحت ها با مجذور نسبت اضلاع.

    الف)

    ب)

    مثال ۷: اگر دو مثلث متشابه باشند و نسبت ارتفاع های آنها \( \Large \frac{3}{7} \)  باشد و یک ضلع مثلث کوچکتر ۵ باشد متناظر آن در مثلث بزرگتر چقدر است ؟

    حل ۷: در آموزش قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است.

    مثال ۸: اضلاع مثلث ABC و 9 , 12 , 15 می‌باشند و با مثلث ‘A’B’C متشابه است. اگر مساحت ‘A’B’C برابر 81 باشد، نسبت محیط‌های آن‌ها چقدر است ؟
    حل ۸: چون مثلث ABC قائم الزاویه است:

    آخر کلاس تشابه مثلث ها

    در این نوشتار که از کتاب ریاضی یازدهم تجربی، مفهوم تشابه مثلث ها را با مثال‌های متنوع و رسم شکل‌های گوناگون باهم یادگرفتیم. همچنین تمامی قضیه‌های این مفهوم مهم را بررسی و اثبات کردیم.

    در صورتیکه که هرگونه سوالی از این مبحث داشتید، می‌توانید سوال خود را در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین قسمت مطرح کنید. کارشناسان ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهند داد.

    میخوای ۲۰ بگیری؟

    منبع مطلب : riazica.com

    مدیر محترم سایت riazica.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    ۱۲۳۴ 1 ماه قبل
    0

    با سلام فعلا حضور ذهن ندارم در وقت مناسب سوالات مربوطه را مکتوب می کنم

    مهدی 2 سال قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید