توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    روی یک خط بی نهایت چی وجود دارد

    1 بازدید

    روی یک خط بی نهایت چی وجود دارد را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

    بی‌نهایت

    بی‌نهایت

    بی‌نهایت مفهومی انتزاعی است که در رشته‌های مختلفِ ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به‌معنای «فراتر از هر مقدار» است و برای توصیف مقادیر بیش از هر عدد یا غیرقابل اندازه‌گیری به کار می‌رود. معمولاً نشانهٔ بی‌نهایت در ریاضیات ∞ است.

    بی‌نهایت از واژه لاتین finites به معنی محدود گرفته شده (علامت {\displaystyle \infty } ) چیزی است که «محدود» نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.

    در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بیکران است. x {\displaystyle x\rightarrow \infty } یعنی متغیر x {\displaystyle x} فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.

    در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته x {\displaystyle x\rightarrow \infty } یعنی قدر مطلق متغیر مختلط x {\displaystyle x} (که آن را با | x | {\displaystyle |x|} نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.

    در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با 0 {\displaystyle \aleph _{0}} نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف یک، می‌خوانند.

    بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند. مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعاً تصویر این دو دقیقاً در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.

    به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.

    اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.

    این مفهوم، دقیقاً همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.

    یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه ها است. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.

    اصل موضوع اقلیدس[ویرایش]

    اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیداً بزرگ‌تر است.

    اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلاً واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزئی از همه اعداد طبیعی هستند.

    البته این نکته را نباید فراموش کرد که: مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر می‌باشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست. در جمع‌بندی باید گفت: مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلاً می‌توان گفت: مجموعه اعداد طبیعی به ازای هر عدد خود یک عدد یک دارد. والبته بودن یا نبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنان‌که بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی.

    بی‌نهایت از نگاه ددکیند[ویرایش]

    اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.

    این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.

    بی‌نهایت از نگاه کانتور[ویرایش]

    در اواخر قرن نوزده، گئورگ کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم ( k N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ) هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه { 1 , 2 , , k } {\displaystyle \{1,2,\cdots ,k\}} وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد یا (به ازای یک k N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ،) k عضوی باشد؛ و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.

    به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بی‌نهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.

    نکتهٔ قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بی‌نهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجموعهٔ سره از خودش هم‌اندازه باشد.

    کانتور به جای دید سنتی در مورد بی‌نهایت‌ها سعی کرد تا از طریق تناظر یک به یک آن‌ها را با هم مقایسه نماید. برای سادگی درک آنچه کانتور انجام داد به مثال زیر توجه فرمایید:

    فرض کنیم یک جعبه سیب و یک جعبه پرتقال داریم. در کدام جعبه میوهٔ بیشتری وجود دارد؟

    یک روش شمردن میوه‌های یک جعبه و سپس شمردن میوه‌های جعبه دیگر است و سپس مقایسه دو عدد. اما در مورد بی‌نهایت‌ها هرگز کار ما با جعبهٔ اول تمام نمی شود تا به سراغ جعبهٔ دوم برویم.

    روش کانتور تناظر یک به یک بود یعنی به ازای برداشتن یک سیب از جعبه اول هم‌زمان یک پرتقال از جعبه دوم بر میداشت. در این صورت هرگاه محتویات یک جعبه تمام می شد در حالیکه محتویات جعبه دوم هنوز تمام نشده بود این نتیجه‌گیری می شد که جعبه دوم تعداد بیشتری میوه داشته‌است.

    این روش در مقایسهٔ بی‌نهایت‌ها ممکن بود و کانتور با استفاده از آن ثابت نمود مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه اعداد صحیح و اعداد گویا به یک میزان بینهایت هستند ولی به عنوان مثال از طریق استدلال قطری کانتور نشان داد فقط فاصلهٔ صفر تا یک در اعداد حقیقی با تمامی اعداد طبیعی نیز پوشش داده نخواهد شد پس بینهایت اعداد حقیقی از بی‌نهایت اعداد طبیعی بزرگتر است.

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    همه چیز در باره واژه بی نهایت

    همه چیز در باره واژه بی نهایت

    تا حالا به معنی کلمه بی نهایت فکر کرده اید؟ و اینکه این کلمه در ریاضی به چه مفهومی اشاره دارد؟ این دفعه تصمیم گرفتیم برای شما مطلبی پیرامون این واژه قرار بدهم.


    به معنی"محدود" گرفته شده ( علامت ∞ ) چیزی است "finitus" بی نهایت از واژه لاتین که "محدود" نیست٬ که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.

    نگرش باستانی در مورد بی نهایت

    نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است:
    "تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که می توان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد٬ بی نهایت است. بنابراین بی نهایت٬ امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد  همیشه از هر عدد معینی بیشتر است."


    به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود٬ به هرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند که عبارتند از:


    1- یکی
    اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آن ها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است٬ اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند.


    2- دیگر
    اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی٬ اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم.
    دومین نگرش را به صورت واضحتر m (m > n ٬ یک عدد صحیح n مثلا "برای هر عدد صحیح میتوان یافت: William of Ockham در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل (هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد٬ پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند).


    اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. به هرحال٬ در این نگرش٬ هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد٬ چون هر عددی را که تصور کنیم٬ همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد:


    همچنین بر ضد این نظریه (Aquinas ) . "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی ) نیست که بزرگتر از آن نباشد که بینهایت می تواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است.

    نگرش های نوین آغازین

    بعد از محکومیتش توسط استنطاق Sienna گالیله در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در مذهبی اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ایی از بی نهایت عدد را به صورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد.


    با این استدلال مشخص می شود٬ اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده٬ کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم٬ پیش می آید.

    درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهای و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها٬ توسعه یافت. Richard Dedekind , Gottlob Frege تناظر یک به یک به عنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز برخورد آن ها در اصل به قبول ایده مجموعه ها بود٬ و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را می توان به صورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.


    دینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت می توانند اندازه های متفاوت داشته باشند٬ با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش٬ و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستم های اعداد توسعه یافته مشخصی٬ مانند اعداد حقیقی٬ اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف٬ متحد می نمایند.


    وقتی سر و کارمان با مجموعه های نامحدود می افتد٬ بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود از کار می افتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.


    یک سؤال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد؟

    این یک سؤال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سؤال از نامحدود بودن به صورت منطقی٬ غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین٬ برای مثال٬ محدود است٬ در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم٬ شما درست به همان نقطه ای که شروع کرده بودید ٬ باز می گردید.


    کیهان٬ حداقل در مبادی و اصول٬ ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و رو به روی خود پرواز کنید٬ شما اتفاقا و به صورت ناگهانی دوباره از همان نقطه ایی که از آن شروع کرده بودید٬ می گذرید.

    نظریات مدرن

    مباحث مدرن درباره بینهایت٬ امروزه به صورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مورد توجه قرار یک استثناء بوده Wittgenstein . گرفته است٬ و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند است٬ کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه و ایده بینهایت عملی٬ در "اواسط عمر خود" انجام داد.

    بینهایت امروزه به انواع مجموعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است٬ یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی٬ alephnull مانند٬ یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمان های موجود در یک دایره یا تعداد نقاط bethone و روی یک خط ٬ و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.


    گروه تمام اعداد را با زیرگروه هایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی m = 2n آیا معادله را با دیگری مرتبط می سازد ٬ و بدین ترتیب ما به گروه های زوج نامحدود وارد می شویم٬ که هرکدام به دیگری مرتبط می باشد٬ ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند.


    هیچیک از این دو٬ یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه٬ فرآیند نامحدود نمی باشند ... در یک گروه را به زیر گروه هایش مرتبط می سازد٬ هنوز ما صرفا یک حالت از m = 2n موهومات که دستور زبان دو پهلو را خواهیم داشت.

    مرکز یادگیری سایت تبیان - منبع: رهیار

    تهیه و تنظیم: مریم فروزان کیا

    منبع مطلب : article.tebyan.net

    مدیر محترم سایت article.tebyan.net لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    بینهایت

    تاریخچه مفهوم شگفت انگیز بی نهایت، از گذشته های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده بود. هر چند برخی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در تمدن هند باستان مطرح شده است، اما می توان گفت که نخستین کار جدی در مورد بی نهایت در عرصه ریاضیات به دوران یونان باستان و تحقیقات اقلیدس بر روی اعداد اول باز می گردد. اقلیدس در کتاب مشهور " اصول " خود هر چند مستقیماً نامی از بی نهایت نمی برد، اما به طور ضمنی به آن اشاره می کند که " بزرگترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است ". پس از اقلیدس، پژوهش در مورد بی نهایت توسط سایر ریاضی دانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد ابن مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت. با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بی نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران " گاتفرید ویلهلم لایبنیتز" و " ایزاک نیوتن " برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام " بی نهایت کوچک " در عرصه ریاضیات پرده برداشتند. بی نهایت کوچک که عملا از همان مفهوم بی نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است که از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچکتر است. بدین ترتیب " بی نهایت " به همراه پسر عموی کوچک خود یعنی بی نهایت کوچک، پایه های عرصه بدیعی از ریاضیات به نام " حساب دیفرانسیل و انتگرال " ( حسابان) را شکل دادند و ابن گونه بود که بی نهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد.اما در حالی که دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بی نهایت بسنده کرده بودند، تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرارآمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت. این تلاش ها در سال 1874 میلادی به نقطه عطفی رسید، زیرا در این سال بود که " جورج کانتور " ،ریاضی دان بزرگ روسی - آلمانی، به کشف حیرت انگیزی در مورد بی نهایت دست یافت: این که اگر چه بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگتر از آن هموجود دارد! این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا که می دانیم که بی نهایت از هر عدد قابل تصوّری بزرگتر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگتر از بی نهایت هم وجود داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت که هر چیزی که از بی نهایت بزرگتر باشد، اول از همه خودش باید بی نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف کرد که بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر از بی نهایت ها بزرگتر هستند! اما به راستی چگونه ؟ آخر اگر بی نهایت، بی نهایت بزرگ است ، پس چگونه ممکن است بزرگتر از آن هم وجود داشته باشد؟! هنگامی که کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را برای سایر ریاضی دانان بازگو کرد،همگی تصور کردند که او دچار نوعی جنون شده است! به همین دلیل هم هنوز چند سالی از این کشف عجیب نگذشته بود که کانتور دچار افسردگی شدید شد. علت افسردگی شدید او کناره گیری از همکارانش و ناامید شدن از آنها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا که هرچه کشف مهم خود را برای آنها توضیح می داد،هیچ کس متوجه آن نمی شد در واقع این ریاضی دانان نسل بعد بودند که نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند. اما به راستی کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگیزی رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای از ریاضیات باز می گردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه " نظریه مجموعه ها " نامیده می شود. تحلیل ریاضی بینهایت 1. مفاهیم بنیادیدنباله عدد های صحیح مثبت ..., 1,2,3 نخستین و مهمترین نمونه از مجموعه های نا متناهی است. در اینکه این دنباله پایان یا انتها یا « نهایت»ی ندارد هیچ ابهامی وجود ندارد زیرا هر قدر عدد صحیح n بزرگ باشد، همواره می توان عدد صحیح بعدی ، n + 1 ، را تشکیل داد. اما در گذار از صفت « نا متناهی » یا « بینهایت » به اسم « بینهایت » نباید تصور کرد « بینهایت »، که معمولا با نماد ویژه ∞ نمایانده می شود، همچون یک عدد معمولی است. نمی توان نماد ∞ را در دستگاه اعداد حقیقی منظور کرد و در عین حال قواعد بنیادی حساب را محفوظ نگه داشت. با این حال، مفهوم بینهایت در همه جای ریاضیات حضور دارد زیرا اشیای ریاضی معمولا نه به صورت انفرادی و جداگانه بلکه به عنوان اعضای رده ها یا توده هایی که بینهایت شی ء همنوع دارند ، مانند مجموعه عدد های صحیح یا عدد های حقیقی یا مثلث ها در یک صفحه، مورد مطالعه قرار می گیرند. به این دلیل، تحلیل دقیق بینهایت ریاضی ضرورت دارد. نظریه نوین مجموعه ها که در اواخر قرن نوزدهم به وسیله جورج کانتور و پیروان مکتب او خلق شده، به این مسئله پرداخته و توفیق خیره کننده ای در حل آن بدست آورده است. نظریه کانتور در باب مجموعه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی رخنه کرده و در آن ها به شدت تاثیر گذاشته، و در مطالعه مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات اهمیتی اساسی یافته است. نقطه شروع این نظریه مفهوم مجموعه یا توده است. منظور از این کلمه، هر گردآیه ای از چیزهاست که با قاعده ای تعریف می شود که به دقت مشخص می کند کدام چیزها به گردآیه مفروض تعلق دارند. به عنوان مثال می توان از مجموعه همه اعداد های صحیح مثبت، مجموعه همه کسرهای اعشاری دوره ای، مجموعه همه عدد های حقیقی، یا مجموعه همه خط های راست در فضا سه بعدی، نام برد. مفهوم اساسی در مقایسه « اندازه » دو مجموعه، مفهوم « هم ارزی » است. اگر عضو های دو مجموعهA و B را بتوان چنان با هم جفت کرد که به هر عضو A یک و فقط یک عضو B و به هر عضو B یک و فقط یک عضو A نظیر شود، این تناظر را دو سویی می نامند و می گویند A و B هم ارزند. مفهوم هم ارزی برای مجموعه های متناهی با مفهوم معمولی برابری تعداد اعضا یکی است زیرا تعداد عضو های دو مجموعه متناهی یکی است اگر و تنها اگر بتوان تناظری بین آنها برقرار کرد. این موضوع در واقع همان ایده شمارش است زیرا وقتی مجموعه ای متناهی از چیز ها را می شماریم، صرفاً تناظری دو سویی بین آن چیزها و مجموعه ای از نمادهای عددی 1،2، 3 ،... ، برقرار می سازیم. برای اثبات هم ارزی دو مجموعه متناهی همیشه لازم نیست اشیای موجود در آنها را بشمریم. مثلاًَ می توانیم بدون شمارش ادعا کنیم که هر مجموعه متناهی از دایره های به شعاع 1 با مجموعه مرکز های آنها هم ارز است.

    بی نهایت از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده ( علامت ∞ ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.نگرش باستانی در مورد بی نهایت؛

     نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است:
     "تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که میتوان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد، بی نهایت است. بنابراین بی نهایت، امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد، همیشه از
     هر عدد معینی بیشتر است."
     به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود، بهرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند. یکی اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آنها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است، اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند. دیگر اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی، اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم.
     مثلا "برای هر عدد صحیح n، یک عدد صحیح m (m > n وجود دارد. دومین نگرش را بصورت واضحتر در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل William of Ockham میتوان یافت :
     :"Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes."
     ( هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد، پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند.)
     اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. بهرحال، در این نگرش، هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد، چون هر عددی را که تصور کنیم، همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد: "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی ) نیست که بزرگتر از آن نباشد. ( Aquinas همچنین بر ضد این نظریه که بینهایت میتواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است.

     نگر ش های نوین آغازین
     گالیله در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در Sienna بعد از محکومیتش توسط استنطاق مذهبی اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ای از بی نهایت عدد را بصورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد.
     با این استدلال مشخص می شود، اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده، کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم، پیش می آید

     ادراک ریاضی
     درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهای Georg Cantor ،
     Richard Dedekind , Gottlob Frege و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها، توسعه یافت. برخورد آنها در اصل به قبول ایده ««تناظر یک به یک بعنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز مجموعه ها بود، و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را میتوان بصورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.
     دینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت میتوانند اندازه های متفاوت داشته باشند، با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش، و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستمهای اعداد توسعه یافته مشخصی، مانند اعداد حقیقی، اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف، متحد می نمایند.
     وقتی سروکارمان با مجموعه های نامحدود می افتد، بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود ازکار میافتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.
     یک سوال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد: آیا تعداد ستاره ها نامحدود است؟ آیا کیهان دارای حجم نامحدود است؟ آیا فضا "تا ابد ادامه" دارد؟ این یک سوال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سوال از نامحدود بودن بصورت منطقی، غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین، برای مثال، محدود است، در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم، شما درست به همان نقطهای که شروع کرده بودید، باز می گردید. کیهان، حداقل در مبادی و اصول، ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و روبروی خود پرواز کنید، شما اتفاقا و بصورت ناگهانی دوباره از همان نقطه ایی که از آن شروع کرده بودید، می گذرید.

     نظریات مدرن
     مباحث مدرن درباره بینهایت، امروزه بصورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مورد توجه قرار گرفته است، و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند. Wittgenstein یک استثناء بوده است، کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه، و ایده بینهایت عملی، در "اواسط عمر خود" انجام داد.
     بینهایت امروزه به انواع مجموعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است، مانند aleph-null ، یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی، و beth-one ، یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمانهای موجود در یک دایره یا تعداد نقاط روی یک خط، و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.
     آیا معادله m = 2n گروه تمام اعداد را با زیرگروههایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی را با دیگری مرتبط می سازد، و بدین ترتیب ما به گروههای زوج نامحدود وارد می شویم، که هرکدام به دیگری مرتبط میباشد، ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند. هیچیک از این دو، یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه،فرآیند نامحدود نمی باشند ... در موهومات که m = 2n یک گروه را به زیر گروه هایش مرتبط میسازد، هنوز ما صرفا یک حالت از دستور زبان دوپهلو را خواهیم داشت.

     مطلق
     سوال دیگر این است که آیا ادراک ریاضی از بینهایت ارتباطی با ادراک مذهبی از خدا دارد؟ این سوال هم کانتور را، با عقیده اش در مورد بینهایت مطلق که با خدا برابر قرارداده شده است، و هم Kurt Godel را با اثبات Godel's ontological??? اش از وجود یک نهاد که او آنرا به خدا وابسته کرد، مخاطب خود قرار داده است.

    منبع مطلب : circles.blogfa.com

    مدیر محترم سایت circles.blogfa.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    س ..رامزی حسن پور 4 روز قبل
    0

    بی نهایت.....نامتناهی

    Amir Mohammad 2 سال قبل
    0

    فکر کنم روی یک خط راست بینهایت نقطه وجود داشته باشه

    مهدی 2 سال قبل
    2

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید