توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    فرمول بدست آوردن تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه

    1 بازدید

    فرمول بدست آوردن تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

    اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه آسان است کافیست ۲ را به توان تعداد اعضای مجموعه برسانیم، به عنوان مثال اگر یک مجموعه ۵ عضو داشته باشد، ۲ به توان ۵ برابر با ۳۲ می شود. در ادامه به اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه می پردازیم. دو اثبات برای این موضوع ارائه داده می شود که یکی از آنها ساده تر می باشد. فرض می کنیم که تعداد کل اعضای مجموعه برابر با n باشد. 

    اثبات اول برای فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه (راه حل ساده)

    این اثبات ساده است. کافیست وضعیت هریک از اعضای مجموعه در زیرمجموعه ها را مشخص نماییم. این گونه تصور کنیم که هریک از اعضای مجموعه n تایی یک لامپ می باشند که می توانند روشن یا خاموش باشند. در این حالت هر زیرمجموعه را می توان با یک رشته لامپ صفر و یک در نظر گرفت اگر لامپ مربوط به یک عضو خاموش باشد یعنی آن عضو در زیرمجموعه حضور ندارد و برعکس روشن بودن لامپ مربوط به یک عضو به معنای حضور آن در زیرمجموعه می باشد، مثلا مجموعه تهی مربوط به حالتی است که کلیه لامپ ها خاموش باشند، یا یک مجموعه دو عضوی حالتی است که فقط دو لامپ از n لامپ (n همان تعداد کل اعضای مجموعه است) روشن و بقیه خاموش باشند. حال باید ببینیم چند حالت برای تشکیل این رشته های n لامپی وجود دارد. از آنجاییکه هر لامپ دو وضعیت روشن و خاموش را دارد، تعداد کل رشته ها بر اساس ضرب و به صورت زیر بدست می آید که برابر با ۲ به توان n می شود:

    اثبات دوم برای فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    برای اثبات بدین صورت می توانیم عمل نماییم که تعداد زیرمجموعه های تهی، ۱ عضوی، ۲ عضوی، ۳ عضوی و ….. تا n عضوی یک مجموعه را بدست آورده و آنها را با هم جمع نماییم. می دانیم که تعداد اعضای k عضوی یک مجموعه از فرمول زیر بدست می آید:

    حال در فرمول فوق به جای k هریک از اعداد از صفر تا n را قرار می دهیم. پس داریم:

    تعداد زیرمجموعه های تهی (صفر عضوی) برابر می شود با:

    تعداد زیرمجموعه های ۱ عضوی برابر می شود با:

    تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی برابر می شود با:

    تعداد زیرمجموعه های ۳ عضوی برابر می شود با:

    تعداد زیرمجموعه های n-1 عضوی برابر می شود با:

    تعداد زیرمجموعه های n عضوی برابر می شود با:

    پس در نهایت تعداد کل زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر با جمع ترکیب های فوق می شود، پس تعداد کل زیرمجموعه ها به صورت زیر بدست می آید:

    برای محاسبه جمع فوق از فرمول کلی بسط یک عبارت دو جمله ای استفاده می کنیم که به صورت زیر می باشد:

    حال در صورتیکه در عبارت فوق به جای a و b عدد ۱ را قرار دهیم، عبارت فوق به صورت زیر در می آید:

    پس ثابت می شود که جمع کل تعداد ترکیب های مختلف (تعداد زیرمجموعه ها) برابر با ۲ به توان n (که n تعداد اعضای زیرمجموعه است) می باشد.

    منبع مطلب : smartinsight.ir

    مدیر محترم سایت smartinsight.ir لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    دانش ریاضی

    دانش ریاضی

    مجموعه

    مثال: مجموعه اعداد طبیعی

    مثال  مجموعه حروف الفبای فارسی

    مثال  مجموعه ی بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسال ایران در سال85

    زیر مجموعه :

    دو مجموعه A و B را در نظر می گیریم. B را زیر مجموعه A گویند هر گاه هر عضو B عضو A باشد.

    مثال 

    مجموعه ی اعداد زوج زیر مجموعه ی اعداد طبیعی

    مجموعه ی حروف بی نقطه ی الفبای فارسی زیر مجموعه مجموعه حروف الفبای فارسی

    مجموعه ی دروازبانهای تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85 زیر مجموعه مجموعه بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85

    مجموعه { 1،2 } B= زیر مجموعه { 1،2،7 }A=

    مجموعه تهی

    تهی، به معنی خالی و مقابل کلمه پر می باشد و در ریاضی مجموعه ای را که عضو ندارد ، مجموعه تهی می نامیم .مجموعه تهی را با { } نشان می دهیم .

    چند نکته:

    1- مجموعه های مساوی :

     دو مجموعه A و B را مساوی گویند هر گاه تمام اعضای A عضو B و تمام اعضای B عضو A باشند .

    مثال: مجموعه { 1،2،3،4 }A با مجموعه {2، 3 ،80 ، 4}=B مساوی هستند .

    2- مجموعه های معادل :

    دو مجموعه در صورتی با هم معادل هستند که تعداد اعضای آن ها با هم برابر باشند .

    مثال : مجموعه ی { ب،د،ج } M =  با مجموعه ی { 1،2،3 } N = معادل هستند .

    3- مجموعه متناهی یا نامتناهی :

    اگر تعداد اعضای یک مجموعه محدود باشد ، به آن مجموعه متناهی گویند .

    اگر تعداد اعضای یک مجموعه نامحدود باشد ، به آن مجموعه نا متناهی گویند .

    مثال:مجموعه { 9،...،1،2،3 } A = یک مجموعه متناهی است و مجموعه{ ....،15 ،10 ،5 }B = یک مجموعه نامتناهی می باشد .

    4) تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه :

     تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه n عضوی از دستور 2n  بدست می آید .

    با توجه به جدول بالا می توان رابطه ی بین تعداد عضوهای یک مجموعه و تعداد زیر مجموعه ها را مشاهده کرد .

    مثال: تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه 10 عضوی 210 می باشد . به عبارت دیگر مجموعه 10 عضوی 1024 زیر مجموعه دارد .

    5) مجموعه ی محض :

    :مثال تعداد زیر مجموعه های محض یک مجموعه ی10 عضوی برابر است با:                              1023 = 1-1024 = 1-210

    6)تعداد زیر مجموعه های :

    الف: تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی  n عضوی ، n تا می باشد .

    ب: تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ،    می باشد .      (2 n )

    ج: تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ،، می باشد. (3 n )

    مثال مجموعه ی{ A= { a,b,c,d  را در نظر بگیرید.

    تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4

    تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از مجموعه ی A برابر است با 6  

    تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4 

    تست :

     1_مجموعه ای 32 زیر مجموعه دارد این مجموعه چند عضو دارد ؟

    3_مجموعه ی { {4،4}،{4} } A=  چند زیر مجموعه ی محض دارد ؟

    4_مجموعه ی {1،2،3،4،5}A=  چند زیر مجموعه ی دو عضوی دارد ؟

    (پاسخ تست ها را در قسمت نظرات بنویسید)

    منبع مطلب : maths7.blogsky.com

    مدیر محترم سایت maths7.blogsky.com لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    ناشناس 23 روز قبل
    1

    جواب سوال یک ۵ میشه چون فرمول زیر مجموعه دو به توان تعداد عضو هست پس دو باید به توان ۵ برسه تا ۳۲ بشه

    برای ارسال نظر کلیک کنید